[생각보다 쉬운 통계학] 1. 기본 개념 정의 (1)

😀 통계학을 입문하기에 앞서 기본적인 개념에 대하여 먼저 알아보도록 합시다!
그래서 이번 포스팅의 목표는 
1. 사건이 발생했을 때 경우의 수 계산
2. 집합의 기호와 성질에 대한 이해

1. 경우의 수(number of cases)

• 경우의 수 : 어떠한 사건이 발생할 수 있는 가지의 수
  
  • 합의 법칙 : 서로 영향을 주지 않는 결과를 가지는 $A$ 또는 $B$가 일어나는 경우의 수  (각 경우의 수의 합)
  • 곱의 법칙 : 서로 영향을 주지 않는 결과를 가지는 $A$ 과 $B$가 동시 일어나는 경우의 수   (각 경우의 수의 곱)
    

합의법칙과 곱의 법칙을 이용한 2개의 식을 살펴보려고 해요😀

• 순열(Permutation) : 서로 다른 $n$ 개 중 $r$개를 선택하여 나열하는 경우의 수, ${}_n{\rm P}_r$
  계산법) $$\begin{matrix} {}_n{\rm P}_r &=& n(n-1)(n-2)\cdot\cdot\cdot(n-r+1) \\ &=&\frac{n!}{(n-r)!}
  \end{matrix}$$
• 조합(Combination) : 서로 다른 $n$개 중 순서 상관없이 $r$개를 선택하는 경우의 수,  ${}_n{\rm C}_r$
  계산법) $$\begin{matrix}  {}_n{\rm C}_r &=& \frac{{}_n{\rm P}_r}{r!} \\ &=&\frac{n!}{r!(n-r)!} \end{matrix}$$

여기에 예시를 들어볼게요 :D

1부터 5까지 적힌 카드가 각 1장씩, 총 5장 있다고 합시다.

여기서 저는 2개의 카드를 동시에 뽑는 게임을 한다면, 경우의 수는 어떻게 될까요?

또한, 뽑은 카드로 2자리 숫자를 만든다면, 경우의 수는 어떻게 될까요?

2개의 카드를 동시에 뽑는 게임 : 순서 상관 없음

 ➔ ${}_5{\rm C}_2 = 10$

2개의 카드로 2자리의 숫자를 만듦 : 순서 상관 있음

 ➔ ${}_5{\rm P}_2 = 20$

 

▶ 순열 프로그램 실행) 파이썬

▶ 조합 프로그램 실행) 파이썬

 

첫번째 설명이었지만, 순열과 조합을 이용한 증명이 계산될 예정이니 꼭 알아주세요!

 

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2. 집합(set)

• 실험(experiment) : 어떠한 현상의 관찰 결과를 얻기 위한 과정
• 표본 공간(sample space) : 모든 관찰 가능한 경우의 수 집합
• 사건/사상 (event) : 확률실험의 모든 가능한 결과 중 하나, 표본 공간의 부분집합

쉽게 이해할 수 있게 예시를 들어볼까요?
모든 면이 나올 확률이 동일한 주사위를 1회 던지는 실험이 있다고 합시다.

이때, 표본공간과 숫자 3이상 나올 사건과 3이하 나올 사건은 어떻게 될까요?

표본공간 $ S= \left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \} $

3이상 나올 사건 $ A= \left \{ 3,4,5,6 \right \} $

3이하 나올 사건 $ B= \left \{ 1,2,3 \right \} $

 

이해되셨다면, 다음 정의로 넘어가겠습니다 :D

• 합집합(Union, sum of sets) : 사건 $ A $ 또는 $ B$에 속하는 사건, $A\cap B$
• 교집합(Intersection) : 사건 $ A $ 와 $ B$에 동시에 속하는 사건, $A\cup B$
  
• 공집합(empty set) : 아무런 원소를 가지지 않는 집합, $\emptyset $
• 여집합(complementary set) : 전체집합 $ U $의 원소 중 $ A $의 원소가 아닌 것들의 집합, $A^{c}$

벤다이어그램의 형태로 한번 더 살펴보겠습니다.

 

여기에도 예시를 들어볼까요? 

조금전의 주사위를 똑같이 던질 때, 짝수가 나올 사건 $A$과 홀수가 나올 사건 $B$가 있습니다.

$A\cup B$과 $A\cap B$은 어떻게 될까요?

또, 합의 법칙을 적용한다면, $A\cup B$에서 경우의 수는 어떻게 될까요?

$ A= \left \{ 2,4,6\right \} $

$ B= \left \{ 1,3,5\right \} $

$ A \cup B= \left \{ 1,2,3,4,5,6\right \} $

$ A \cup B= \varnothing $

경우의 수) $A$의 경우의 수(3) + $B$의 경우의 수(3) =  6

 

위 예시에서도 볼 수 있듯 교집합이 없는 경우에 대해 나타내는 용어가 있습니다.

• 상호배반(mutually exclusive) : 동일 표본공간 상 정의된 두 사건 $A$, $B$의 공통부분이 없음, $ A\cap B = \emptyset $

 

여기서 몇 가지 성질을 더 살펴보려고 해요😀

• 교환법칙 : $A\cap B = B\cap A, A\cup B = B\cup A $
• 결합법칙 : $ \begin{align*} \left ( A \cup B \right ) \cup C = A \cup \left ( B \cup C \right ), \left ( A \cap B \right ) \cap C = A \cap \left ( B \cap C \right ) \end{align*}$
• 배분법칙 : $A \cap \left ( B \cup C \right ) = \left ( A \cap B \right ) \cup \left ( A \cap C \right )$
• 드모르간의 법칙 : $\left ( A \cup B \right )^{c} = A^{c} \cap B^{c}, \left ( A \cap B \right )^{c} = A^{c} \cup B^{c}$

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'집합'에 대한 정의와 기본 성질, 이해되셨나요?

이렇게 이번 포스팅을 마무리하고, 다음 포스팅에서 '확률'에 대해서 진행하도록 하겠습니다!

 

참고자료 : 송성주,전명식. (2021). 수리통계학. 자유아카데미